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Divisibilidad

January 25, 2012

Para un entero m y otro entero n distinto de 0, decimos que m es divisible por n o n divide a m si hay un entero k, tal que m=kn, es decir m/n es entero. Se pone n|m, m es un múltiplo de n, y n es un divisor de m. Veamos algunas consecuencias inmediatas:

  • Como 0=0n, n|0 para todo n.
  • Los múltiplos de n son 0, ±n, ±2n,… por lo que hay un múltiplo m de n entre cualesquiera n números consecutivos.

Podemos demostrar algunas propiedades:

  1. x|x para todo x, pues x=1x
  2. Si x|y e y |z, entonces x|z, pues si y|z, z=k’y=kk’z, luego x|z
  3. Si x|y e y es distinto de 0, entonces |x|≤|y|, pues si y es distinto de 0, entonces |k|≥1, por lo que |y|=|k||x|≥|x|.
  4. Si x|y e x|z, entonces, x|(my+nz) para m,n enteros, pues my+nz=mkx+nk’x=x(mk+nk’).
  5. Si x|y e y|x, entonces |x|=|y|, se sigue de aplicar dos veces (3).
  6. Si x|y e y es distinto de 0, encontes y/x|y, pues y=kx, y/x=k, kx=y
  7. Para z distinto de 0, x|y si y solo si xz|yz, pues y=kx si y solo si yz=kxz

La propiedad (6) es muy útil, pues implica que para un entero distinto de 0, hay un número par de divisores de n, a no ser que n sea un cuadrado perfecto. Por ejemplo:

Veinte estudiantes aburridos juegan al siguiente juego: en un pasillo con veinte taquillas cerradas numeradas del 1 al veinte, toman turnos y hacen lo siguiente: el primero abre todas las taquillas; el segundo cierra las taquillas 2, 4, 6,…, 20; el tercero abre o cierra (según esté abierta o cerrada) las taquillas 3, 6, 9, 12, 15, 18; y así sucesivamente. ¿Cuántas taquillas siguen abiertas después del tan divertido juego?

La taquilla i será abierta o cerrada por el alumno j, si y solo si, j|i, lo cuál solo ocurre si está es abierta o cerrada por el alumno i/j. Por tanto, solo las taquillas 1, 4, 9, y 16 serán abiertas un número impar de veces.

“104 Number Theory Problemas, from the training of the USA IMO Team”-Titu Andreescu

 

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